1973 年秋季，加州大学伯克利分校研究生院的汇总数据里，男性申请者录取率约 44%，女性约 35%。Bickel 等人 1975 年在《科学》撰文指出：逐系查看，多数系并无显著性别偏向；按系合并计算，女性反而略占优势。汇总差距主要来自女性更多申请难进的系，这是辛普森悖论的经典实例。
1959 年 2 月 22 日从伯克利山俯瞰：画面中部和右侧是加州大学伯克利分校校园，萨瑟塔（Campanile）清晰可见，远处是旧金山湾、海湾大桥东段与旧金山市区。摄影：Roger W（Flickr 用户 roger4336）；来源：Flickr；许可：CC BY-SA 2.0。
1973 年秋季的汇总数据
这项分析起于伯克利内部。论文三位作者分别是统计学教授 P. J. Bickel、人类学教授兼研究生院副院长 E. A. Hammel，以及研究生院数据处理人员 J. W. O'Connell，论文注明调查由 Hammel 发起。1973 年秋季学期的招生周期里，研究生院共收到约 15,000 份申请，扣除撤回或改期的，有 12,763 份资料完整、做出了录取或拒绝决定，涉及 101 个系和跨系项目。
把这些申请直接汇总（论文称为“方法 A”），男性 8442 人中录取 3738 人，约 44%；女性 4321 人中录取 1494 人，约 35%。按“录取与性别无关”的假设计算期望频数，女性比预期少录 277 人，卡方值 110.8，偶然出现的概率几乎为零。作者在注释中写道，仅凭这张表，联邦监管机构就可能认为有理由扣留大笔科研经费。论文开篇也说明，他们有意先按这种“天真”的方式走一遍，好把途中的每个陷阱都展示出来。
逐系分层与申请去向
录取决定主要由各系教师做出，作者于是转向逐系检验。101 个系中有 16 个没有女性申请者，或者没有拒绝任何人，其余 85 个系进入分析。在 5% 显著性水平上，只有 4 个系显示出对女性不利的偏差，合计少录 26 名女性；方向相反的却有 6 个系，合计少录 64 名男性。全校汇总出的 277 人缺口，在系一级几乎找不到对应的“责任方”。
论文只给出全校汇总表和一张各系散点图，没有公开系名。R 语言自带的 UCBAdmissions 数据集整理了其中申请人数最多的六个系（以 A–F 代称，共 4526 份申请），常被用来演示这一现象。在这六个系里，女性在 A、B、D、F 四个系的录取率高于男性，在 C、E 两个系略低；六系合计时，男性录取率却是 44.5%（2691 人中 1198 人），女性只有 30.4%（1835 人中 557 人）。
| 系 | 全系录取率 | 男性申请 | 男性录取率 | 女性申请 | 女性录取率 |
|---|---|---|---|---|---|
| A | 64.4% | 825 | 62.1% | 108 | 82.4% |
| B | 63.2% | 560 | 63.0% | 25 | 68.0% |
| C | 35.1% | 325 | 36.9% | 593 | 34.1% |
| D | 34.0% | 417 | 33.1% | 375 | 34.9% |
| E | 25.2% | 191 | 27.7% | 393 | 23.9% |
| F | 6.4% | 373 | 5.9% | 341 | 7.0% |
| 六系合计 | 38.8% | 2691 | 44.5% | 1835 | 30.4% |
数据：R datasets 包 UCBAdmissions（1973 年伯克利申请人数最多的六个系），录取率按原始计数计算。
关键在申请去向。A、B 两系录取率都在六成以上，男性申请有 51.5% 投向这两个系（2691 人中 1385 人），女性只有 7.2%（1835 人中 133 人）；其余九成以上的女性申请集中在录取率从约 35% 一路降到约 6% 的 C–F 四系。论文在全部 85 个系上看到同样的规律：女性申请者占比越高的系，往往越难进，申请人多的大系尤其明显。作者用渔网打比方：网上有大小两种网眼，母鱼都去钻小网眼，公鱼都去钻大网眼，游到网另一侧的便全是公鱼。网并没有挑性别，差别出在鱼选了哪种网眼。
AI 生成示意图：蓝色代表男性申请者，橙色代表女性申请者。男性多走宽通道（易进的系），女性多挤窄通道（难进的系）；即使每条通道对男女按相同比例放行，合并后通过者仍以男性居多。画面不对应具体数值，实际数字见上文六系数据表。
加权平均与标准化
从数学上看，这并不神秘。某一性别的总体录取率，是它在各系录取率的加权平均，权重是该性别投向各系的申请占比：总体录取率 P = Σ w_d × p_d，其中 w_d 为投向系 d 的申请占比，p_d 为在系 d 的录取率。比较男女时，两边的 p_d 可能逐系接近，甚至女性更高；但两边的 w_d 截然不同。女性的权重压在 p_d 小的系上，加权平均就被拉低。分组内的大小关系，合并后并不保证继续成立。
要把“申请去向”和“系内录取标准”两个因素拆开，可以做一次直接标准化：固定同一套申请分布，只换录取率。按 UCBAdmissions 六系数据计算，若女性按男性的申请分布投递、各系保持女性自己的录取率，合计约为 51.6%，高于男性实际的 44.5%；反过来，若男性按女性的申请分布投递、保持男性各系录取率，合计约为 30.2%，与女性实际的 30.4% 几乎相同。在这六个系里，汇总差距几乎全部来自申请去向。
Bickel 等人在全校层面用的是同一思路：先算出每个系不分性别的录取率，乘以该系女性申请人数，再对各系求和，得到女性期望录取 1432.9 人，而实际录取 1493.0 人，多出 60.1 人（χ²=8.55，P=0.003）。这一检验即 Cochran 与 Mantel–Haenszel 提出的分层合并方法。论文还用两个虚构的系说明机制：“machismatics”系收到男 400、女 200 份申请，各录取一半；“social warfare”系收到男 150、女 450 份，各录取三分之一。两系都对男女一视同仁，合并后却显示女性比预期少录约 21 人。作者同时提醒反方向的陷阱：分层合并后总偏差接近零，也可能只是部分系偏向男性、部分系偏向女性，彼此抵消。
因果结构与现实意义
这一现象以英国统计学家 E. H. Simpson 命名，他 1951 年在《皇家统计学会杂志》B 辑发表了相关论文；Pearson 等人（1899）和 Yule（1903）更早注意到类似现象，不过他们描述的是合并后关联消失，而非方向逆转。“辛普森悖论”这个名称由 Blyth 在 1972 年提出，Bickel 等人引用的正是 Blyth。Pearl 在 2014 年的评论中指出，逆转本身只是算术事实，真正的难点是判断该相信分组结果还是合并结果，而这取决于数据背后的因果结构，单看数据无法决定。
放回伯克利的案例：如果问题是“同一系内招生委员会是否区别对待男女”，系就是应当分层的变量，分层结果回答的正是这个问题。但选哪个系本身受性别影响，系处在性别与录取之间。分层只能说明“系内是否公平”，不能说明“女性整体是否获得同等机会”。Bickel 等人也没有止步于宣布招生公平：他们发现越容易进的系往往要求越多本科数学（83 个有对应本科专业的项目中，相关系数 r=0.38），并认为差距源于更早阶段的教育筛选，把女性引向更拥挤、经费更少、就业前景更差的领域。
论文的结论同样有前提。作者假设同一学科内男女申请者资质相当，并承认没有用 GRE 成绩、本科绩点等去检验；如果某系女性申请者整体更强或更弱，系内录取率的比较也会被这一因素混杂。对今天的数据分析者，这个案例提供了两项朴素的检查：看到汇总比率差异时，先问各组成员在某个维度上的分布是否不同，而这个维度本身又影响结果；决定分层还是合并之前，先理清变量之间谁影响谁，再明确要回答的问题。