一种手术，治疗小结石时成功率更高，治疗大结石时也更高，合在一起却输了。Charig 等人 1986 年发表于 BMJ 的肾结石研究，就藏着这样的反转。数字没有自相矛盾，变化的是两种手术面对的病例构成。辛普森悖论提醒我们：看清分母之后，还要想清楚自己究竟在问什么。
肾结石手术的胜负反转
1986 年 3 月 29 日，C. R. Charig、D. R. Webb、S. R. Payne 与 J. E. A. Wickham 在 BMJ 发表一项肾结石治疗比较。研究还涉及体外冲击波碎石；这里取出开放手术与经皮肾镜取石术两组，每组各 350 人，看看同一批数字怎样给出不同印象。[1]
研究把治疗后三个月无结石，或残石小于 2 毫米，定义为成功。按原文表 I、II 的分子分母计算，结果如下（百分比四舍五入至一位小数）：
| 病例分组 | 开放手术：成功／总人数 | 经皮取石：成功／总人数 |
|---|---|---|
| 小结石组 | 81／87，93.1% | 234／270，86.7% |
| 大结石／多发结石组 | 192／263，73.0% | 55／80，68.8% |
| 合计 | 273／350，78.0% | 289／350，82.6% |
这里有个容易被讲故事时省掉的细节：第一组是平均直径小于 2 厘米的结石，第二组包括直径至少 2 厘米或多发结石，并非只按单颗结石大小划分。两组内部，开放手术的观察成功率都较高；合并后，经皮取石反而领先。
这也不是把同期患者随机分到两种治疗的试验。开放手术病例来自 1972—1980 年，经皮取石病例来自 1980—1985 年。结石构成、年代与其他病例差异，都限制了因果解释。这个历史案例适合用来理解统计比较，不能据此推荐今天采用哪种手术。
题图说明：向量的斜率表示成功率，横向长度表示病例数；分组向量相加得到总体。作者 Cmglee，来源 Wikimedia Commons，许可 CC BY-SA 4.0，转为网页位图。
两套权重，两种结果
关键不在成功率的简单平均，而在每一种成功率占多少分量。开放手术组中，小结石只有 87 人，大结石或多发结石有 263 人；经皮取石组则分别是 270 人和 80 人。于是，前者的总成绩主要由较难成功的病例决定，后者主要由较容易成功的病例决定。[1]
总成功率可以写成：小结石成功率 × 小结石病例占比，加上另一组成功率 × 另一组病例占比。代入开放手术的数据，就是（81／87）×（87／350）＋（192／263）×（263／350）＝273／350。经皮取石则用了另一套权重：270／350 与 80／350。所谓反转，发生在两套不同的权重之间。
若想比较同样病例构成下的结果，可以给两种治疗使用共同权重。例如，仅作算术演示，假设目标人群中两类病例各占一半，那么开放手术的加权成功率约为 83.1%，经皮取石约为 77.7%。这是假设人群下的标准化计算，不是原论文另一次试验，也不自动成为因果效应估计。
只要对两种治疗使用相同的非负权重，且权重之和为一，每层都较高的一方，加权后仍会较高。真正需要解释的是：为什么实际接受两种治疗的人群，构成如此不同？
下图说明：用抽象向量展示权重改变时的合并反转，非肾结石研究实测数据；向量斜率代表比率。作者 Cmglee，来源 Wikimedia Commons，许可 CC BY-SA 3.0，转为网页位图。
比较方式取决于因果问题
如果问题只是“实际接受这两种治疗的患者，各有多少比例成功”，合并表给出了正确的描述。但如果问题变成“对同样的人群，换一种治疗会怎样”，合并表就未必能回答。
按照 Pearl 的分析，选择分层还是合并，需要借助数据背后的因果结构。[2] 在肾结石案例中，可考虑这样一张假设的因果图：
结石特征 → 治疗选择 → 治疗结局 结石特征 → 治疗结局
此时，结石特征是治疗选择与结局的共同原因，形成“治疗选择 ← 结石特征 → 治疗结局”这条混杂路径。若这个因果模型成立，且所调整的变量足以阻断全部混杂路径，并满足各类患者都有机会接受所比较治疗等条件，就可以先在层内比较，再按同一目标人群的构成加权。分层与合并不必二选一：可以先做恰当的分层，再做恰当的合并。
但分得越细，并不保证越接近真相。设想另一个情境：治疗通过改变某项生理指标影响康复。这项治疗后的指标是中介；把它固定住，会挡掉部分作用路径，回答不了原先关心的总效应问题。若不存在其他混杂，估计总效应便不应为此强行分层。
还有一种风险来自共同结果，即碰撞变量。举一个假设：治疗选择和患者的潜在健康状况都影响“是否留在随访中”，健康状况又影响结局。只比较留下的人，相当于按两者的共同结果筛选，可能制造新的关联。仅仅因为一个变量测于治疗前，或与结局相关，都不足以证明应该控制它。[2]
因果图表达的是需要领域知识支持的假设，不能从成功率反转本身读出来。肾结石表格揭示了病例构成问题，却没有排除年代差异和其他未测混杂；分层后的优势也不能直接宣布为治疗的因果优势。
读表时的六项检查
遇到一张声称“总体更好”的表格，可以依次检查：
- 先写下问题：是在描述已有结果，还是在预测改变治疗、政策或产品后会发生什么？
- 核对分子、分母与时间窗：成功是否同一个定义，观察期是否相同，有没有漏掉退出或失访者？
- 把人数摆出来：除了每层成功率，还要看各层总人数，以及它们在每个比较组中占多少。
- 说明为什么分组：变量在何时测量？在假设的因果图中，它是共同原因、中介，还是共同结果？时间先后只是线索。
- 若做标准化，交代目标人群：两种方案是否使用同一套权重？换到另一种病例构成时，结果意味着什么？
- 给结论留出边界：样本波动有多大？是否存在未测混杂、选择偏差或年代差异？当前数据能否识别想问的效应？
辛普森悖论最有用的地方，是让我们暂停给总体数字排座次。先检查谁被合在一起，再决定怎样比较；分层结果与合并结果，都要放回具体问题里理解。