米纳德的拿破仑东征图：一张图里的六个变量

查尔斯·约瑟夫·米纳德，《1812–1813 年俄国战役中法军人员相继损失的形象地图》，石印，1869 年 11 月 20 日。图源：Wikimedia Commons（File:Minard.png），公有领域。

1869 年 11 月 20 日，退休的法国桥梁与道路总监查尔斯·约瑟夫·米纳德在巴黎落款完成一幅石印图，记录拿破仑大军 1812 年远征俄国的人员损耗。一条逐渐变细的色带和底部一条温度曲线，同时承载兵力、经度、纬度、行进方向、温度与日期六个变量。本文拆解它的读法、比例尺背后的算术，以及图中数据的来源与局限。

一幅图上的六个变量

米纳德（1781–1870）早年是土木工程师，退休后专注于他所说的“图形表格与形象地图”，目标是让数据“对眼睛说话”（Friendly, 2002）。这幅图的法文全名是 Carte figurative des pertes successives en hommes de l'Armée Française dans la campagne de Russie 1812–1813，落款为“巴黎，1869 年 11 月 20 日”，距米纳德去世不到一年。图例写明，资料取自梯也尔、塞居尔、费藏萨克、尚布雷的著作，以及自 10 月 28 日起任军队药剂师的雅各布未刊日记。

读图从左到右开始。按图例，色带宽度表示在场人数，比例为每毫米一万人，数字同时写在色带旁；红色（今多褪为棕褐色）表示进入俄国的部队，黑色表示撤出的部队。左端涅曼河边的色带代表 422,000 人，抵达莫斯科时剩 100,000 人，回到出发地时约剩 10,000 人。下方的温度曲线要从右往左读，标出撤退途中若干日期的列氏零下温度，例如 11 月 14 日 −21°R、12 月 6 日 −30°R（列氏度乘以 1.25 即为摄氏度，后者约合 −37.5°C）。

塔夫特在《定量信息的视觉展示》（1983）第 40 页写道，这幅图绘出了六个变量：军队规模、它在二维平面上的位置、行进方向，以及撤退途中不同日期的温度，并评价它“可能是有史以来最好的统计图形”。把二维位置拆成经度和纬度后，六个变量与图形元素一一对应：规模对应色带宽度，经度和纬度对应平面位置，方向对应颜色，温度对应下方曲线的高度，日期写在温度曲线的标注里。上下两部分共用经度作为横轴，温度点用细线连回上方路线，读者因此能把某一天的严寒与当时的位置、剩余兵力放在一起比较。

比例尺、损失率与因果

米纳德用的是线性比例尺：宽度 $w$（毫米）$= N / 10\,000$，$N$ 为在场人数。按此计算，422,000 人约宽 42 毫米，10,000 人只宽 1 毫米。宽度与人数成正比，意味着色带收窄多少毫米就代表少了多少人，读者直接看到的是绝对损失。

绝对损失和损失比例可能给出不同印象。用图上标注粗算：进军阶段从 422,000 人降到 100,000 人，减少 322,000 人，损失约 76%，色带收窄约 32 毫米；撤退阶段从 100,000 人降到约 10,000 人，减少 90,000 人，损失 90%，色带却只收窄 9 毫米。若改用对数刻度，宽度变化反映的是倍数：进军阶段缩小到约 1/4.2（$\log_{10} 4.22 \approx 0.63$），撤退阶段缩小到 1/10（$\log_{10} 10 = 1$），撤退的相对惨烈会比原图更显眼。撤退途中还有侧翼部队并入，严格的分阶段损失率需要按分组计算；这里只说明刻度选择的影响。线性刻度回答“少了多少人”，对数刻度回答“少了几成”，选哪种取决于图要回答的问题。

温度曲线还提醒一个统计常识：同一路径上的共变不等于因果。温度只画在撤退段，而进军阶段 322,000 人的减员发生在入冬之前。Friendly（2002）转述 Roth 等人（1997）的交互式重绘分析：大部分减员与会战无关，且发生得较早；Chandler（1966）等史家则把逃亡和疾病列为主要原因。把严寒曲线和变细的色带并排，能让读者看到两者同时发生，却不能单凭这张图得出“严寒造成了大部分损失”的结论。

数据来源、简化与复现

米纳德没有把数据处理藏起来。图例写明，为了更直观地看出兵力减少，他假定曾分兵明斯克和莫吉廖夫、后在奥尔沙和维捷布斯克附近归队的热罗姆亲王与达武元帅所部一直随主力行军。这是为可读性做的合并，代价是部分路段的宽度并不对应当时实际在场的人数。数据本身来自史书和回忆录，而不是逐日点名册，应当视为约数。Wilkinson（1999）按图形语法重绘时还发现，温度图上 12 月 6 日与 12 月 7 日两点相距过远，意味着一天行军超过 50 英里，不太合理（Friendly, 2002）。

转述也会让图走样。Friendly（2002）指出，这幅图与一幅汉尼拔军队从西班牙进军意大利的损耗图同时印行，后者从 96,000 人减到 26,000 人，米纳德显然有意让两者对照；他引用的讣告把这两幅图读作对追逐军事荣耀所付人命代价的反思。而马雷（1878）只印了拿破仑部分的初稿，Funkhouser（1937）随后也把它当作孤立作品。日期同样常出错：塔夫特书中称此图“绘于 1861 年”，与原图 1869 年的落款不符；HistData 的说明文档则把战役年份写成了 1815 年。引用历史图表时，日期和数字最好回到原图核对。

米纳德与东征图同日落款（1869 年 11 月 20 日）的汉尼拔进军损耗图，描绘公元前 218 年汉尼拔军队从西班牙进入意大利途中的减员。图源：Wikimedia Commons（File:Minard-hannibal.jpg），公有领域。

这张图今天仍是检验绘图工具的常用考题。Friendly 把重绘它称为“米纳德挑战”；R 包 HistData（1.1.1 版，2026 年 10 月）收录了三张表：Minard.troops 有 51 行，记录经度、纬度、存活人数、方向（进军或撤退）和分组；Minard.cities 记录 20 个地名的位置；Minard.temp 记录撤退途中 9 个温度点。Wilkinson 的图形语法把上半幅写成几行声明：坐标框为经度×纬度，路径宽度映射存活人数，颜色映射方向，按分组拆开。对今天做研究的人，这张图至少留下三条做法：多个变量共用坐标轴，比例尺服务于要回答的问题，数据来源、合并假设和单位直接写在图上。