一份问卷收到了 100 份回答。如果希望平均分的抽样波动缩小一半，需要再收到 100 份吗？在观测独立、来自同一分布且方差有限的条件下，答案是把总样本量增加到 400。这个差距来自标准误公式中的平方根。
先分清两个“分散”
标准差描述样本中个体数值的分散程度。例如，同一量表里，有人的得分接近平均值，有人相差很远。标准误则描述估计量的抽样波动：如果按同样的方法反复抽样，每次算出的平均分会相差多少。前者说的是个体，后者说的是估计结果。
总体标准差记作 σ，样本量记作 n，样本均值的标准误就是 σ/√n。总体标准差通常未知，实际计算时常用样本标准差 s 代替。扩样主要改变分母；如果测量本身的噪声很大，分子也会很大。
把数字代进去
看一个公式算例，设 σ=10。n=25 时，标准误为 10/√25=2；n=100 时为 10/√100=1；n=400 时为 10/√400=0.5。样本量乘以 4，√n 只乘以 2，所以标准误只缩小一半。从 25 到 100 要多收 75 份，从 100 到 400 则要多收 300 份，才换来同样的一次减半。
从 100 增至 200，标准误的比例是 √(100/200)，约等于 0.707。也就是说，总样本翻倍，标准误缩小约 29.3%。继续增加样本仍有帮助，只是每次希望再减半，都要把当前总量再乘四。预算讨论因此应落到“要把精度提高多少”，而不是单纯追求一个更大的 N。
置信区间还多一个临界值
NIST 给出的均值 t 区间写作：样本均值 ± t 临界值 × s/√n。标准误决定区间宽度的重要一部分，t 临界值又与置信水平和自由度有关。因此，比较小样本与大样本的区间时，不能把“标准误减半”机械替换成“区间宽度恰好减半”。在独立正态样本的常规模型下，这个区间有明确的覆盖率解释；偏态很强或存在依赖时，需要检查相应条件。
95% 置信水平描述的是构造区间的方法：在模型条件成立的重复抽样中，约 95% 的这种区间会覆盖真实均值。已经算出的某个区间是具体结果；这个百分数不表示其中 95% 的个体得分落在区间里。
扩样前，先检查问卷测量了什么
如果问题含糊，例如把“最近一周”与“通常情况”混在同一个评分里，增加回答者并不能自动统一他们理解的时间范围。先明确题意、统一观察窗口，再决定是否扩样，往往比事后只看总人数更有用。这里改变的是测量过程；它也可能改变研究对象或估计目标，必须在方案中写清。
实际规划时，可以先用预调查估计分散程度，再以目标区间宽度反推样本量，同时考虑失访、分组和抽样方式。若多名受访者来自同一班级或同一机构，观测可能相关，便不能直接把每份回答都按独立样本计入上面的公式。先把设计与目标说清，样本量计算才有对应的含义。
公式与区间解释：NIST/SEMATECH e-Handbook。选题由 Statistical Modeling 关于噪声与样本量的讨论引出。文中数字为公式算例。