2008 年 5 月 2 日伦敦 ExCeL 计票中心的 City & East 计票区。选举中险胜与险负的对比，是断点回归“局部随机化”解读的典型场景。图：secretlondon123，来源 Flickr，许可 CC BY-SA 2.0。
当一项待遇按分数线、年龄线或得票过半来分配时，刚好过线和差一点没过的人往往十分相似。断点回归设计（regression discontinuity design，RD）正是利用这种“阈值附近近似随机”的结构，比较阈值两侧结果的跳跃来估计因果效应。本文介绍它解决的问题、核心思路、使用前提与常见误用，并以美国最低饮酒年龄研究为例。
问题与核心思路
观察数据里，接受处理的人和没接受的人往往本来就不一样。设想奖学金只发给考试高分的学生：如果直接比较获奖者与未获奖者日后的学业表现，差距里既有奖学金的作用，也混着“本来就更会考试”的那部分。断点回归最早由 Thistlethwaite 与 Campbell 在 1960 年提出，最初分析的正是按考试分数线发放奖励这类情形；Imbens 与 Lemieux（2008）指出，这一方法直到 20 世纪 90 年代末才开始在经济学中被大量应用和扩展。
RD 有三个关键要素：一个在处理之前就已确定的连续变量，称为驱动变量（running variable，也叫分配变量或得分）；一个已知的阈值 c；以及“越过阈值就接受处理”的规则。它比较的不是全体处理组与对照组，而是紧挨在阈值两侧的人：在 c 的左右两侧分别拟合结果随驱动变量变化的曲线，两条曲线在 c 处的落差就是估计值，对应阈值处的平均处理效应 τ = E[Y(1) − Y(0) | X = c]。如果越过阈值使处理概率从 0 直接跳到 1，称为清晰断点（sharp RD）；如果只是让处理概率发生跳变、两侧都有人不按规则接受处理，称为模糊断点（fuzzy RD），这时要用结果的跳跃除以处理概率的跳跃来估计效应（Hahn、Todd 与 van der Klaauw，2001；Imbens 与 Lemieux，2008）。
“局部随机化”这一解读来自 Lee（2008）。他证明：只要个体能影响自己的得分、却无法精确控制它——得分中总有一部分随机成分，且其密度连续——那么在阈值的一个小邻域内，是否接受处理就近似于随机分配。以美国众议院选举为例，候选人的得票率取决于经验和竞选投入，但最终计票总有不确定性，因此以微弱优势胜出和以微弱劣势落败的选区，在其他方面应当相似。这一解读带来一个可检验的推论：阈值两侧附近的处理前特征（基线协变量）分布应当一致，研究者可以像检查随机试验“随机化是否成功”那样去核对。
清晰断点示意：竖直虚线为阈值（カットオフ点），左侧未接受处理（処置無し），右侧接受处理（処置有り），两条拟合线在阈值处的落差即处理效应（処置の効果）。图：Munasca，来源 Wikimedia Commons，许可 CC BY-SA 4.0。
使用前提与检验
第一，分配规则必须已知且可观测：阈值是多少、驱动变量是什么、谁越过了阈值，都要能从数据中准确还原，而且驱动变量应在处理之前确定。第二，连续性：如果没有处理，结果的条件期望在阈值处应当平滑变化，不会自己跳一下。Hahn 等（2001）把这一条形式化为 RD 识别所需的最低连续性条件；Lee（2008）也强调，这一假设本身无法直接检验，只能通过它的推论间接检查。
第三，不能存在精确操纵。McCrary（2008）指出，当分配规则公开、个体又有能力调整驱动变量时，就会有人恰好挤到有利的一侧，表现为阈值上方的观测异常多、下方异常少。他据此提出检验驱动变量的密度在阈值处是否断开的方法：用在美国众议院普选数据上，没有发现分选；用在国会唱名表决的票数上，则发现了明显的操纵迹象。
驱动变量分布示意：左图无操纵，直方图平滑穿过阈值（虚线）；右图存在操纵，阈值下方偏少、上方堆积，密度在阈值处断开，对应 McCrary（2008）密度检验的直觉。AI 生成示意图。
第四，阈值处不应同时发生别的变化。Imbens 与 Lemieux（2008）举例说，人们到 65 岁时还会获得许多文化机构的优惠；如果用 65 岁做断点研究某项政策，结果的跳跃就可能混入这些优惠的影响。围绕这些前提，他们给出的实操步骤包括：先用分箱均值画图；只用阈值附近的观测做局部线性回归；有依据地选择带宽；再检验协变量和驱动变量密度在阈值处是否连续，并在没有政策变化的其他位置做“安慰剂断点”检验。
常见误用
一是用高阶全局多项式拟合整段数据。不少研究在全样本上控制驱动变量的三次、四次甚至更高次多项式。Gelman 与 Imbens（2019）认为这类估计可能产生误导，建议改用局部线性、局部二次或其他平滑函数。直观地说，高次曲线在数据两端最容易“甩动”，而 RD 关心的恰好是每一侧的端点；Imbens 与 Lemieux（2008）也提醒，阈值是边界点，普通的核回归在边界上表现不佳。
二是随意挑选带宽，只报告“好看”的结果。带宽决定纳入阈值两侧多远的数据：太窄则样本少、噪声大，太宽则把离阈值较远、可比性较差的观测也算进来。Imbens 与 Lemieux（2008）建议用数据驱动的方法选择带宽，并做敏感性分析；Calonico、Cattaneo 与 Titiunik（2014）进一步提出了 RD 的稳健非参数置信区间；Cattaneo 等（2020）的实务教材则围绕清晰断点的估计与推断整理了一套通用做法。较稳妥的做法是事先确定主分析的带宽选择方法，同时报告多个带宽下的估计。
三是跳过操纵检验与平衡检验。只要驱动变量是当事人能精确调整的量，例如可以自行申报、刚好卡在补贴门槛附近的收入，局部随机化的前提就可能被破坏。不做密度检验和基线协变量检验就直接解读阈值处的跳跃，等于默认“随机化”一定成功。
四是把阈值处的效应外推到全体，或把模糊断点当成清晰断点。RD 估计的是阈值附近人群的效应，Lee 与 Lemieux（2010）专门讨论了解读这类估计的局限：分数线附近学生得到的效应，不一定适用于分数远高或远低的学生，要外推就需要额外的假设或设计。在模糊断点中，如果直接把结果的跳跃当作处理效应，效应会被没有按规则接受处理的人稀释，应按前文的比值思路估计。
实例：最低饮酒年龄与死亡率
美国的法定最低饮酒年龄是 21 岁，年龄因此成了一个天然的驱动变量。Carpenter 与 Dobkin（2009）用断点回归比较刚满 21 岁与差一点满 21 岁的年轻人，发现饮酒在 21 岁时出现大而即时的增加，其中近期饮酒天数增加 21%；死亡率在 21 岁处出现约 9% 的跳升，主要来自机动车事故、与酒精相关的死亡和自杀。作者据此估计，年轻人的饮酒天数每增加 10%，死亡率约上升 4.3%。
这个例子能对应前文的几个要点。其一，生日无法临时更改，个体很难精确操纵驱动变量，局部随机化的前提相对可信；但仍需确认 21 岁这个节点上没有其他会影响死亡率的制度同时变化。其二，满 21 岁并不意味着所有人都开始喝酒，此前也并非无人饮酒，越过阈值改变的是饮酒程度而不是“从无到有”，属于模糊断点的思路：9% 的死亡率跳升与 21% 的饮酒天数跳升之比约为 0.43，与作者给出的换算一致。其三，结论描述的是 21 岁前后的年轻人，不能直接推到其他年龄段，也不能直接回答把饮酒年龄改为 18 岁会怎样。