伦敦海滨街的皇家法院大楼。2003 年 1 月，上诉法院在这里审理 Sally Clark 案的第二次上诉并撤销定罪。图：Cindy Andrie，摄于 2012 年，来自 Wikimedia Commons，CC BY 2.0 许可。
1999 年 11 月，英国律师 Sally Clark 因两个婴儿儿子先后突然死亡被判谋杀罪成立，庭审中“7300 万分之一”这个数字被广泛报道。2003 年 1 月，上诉法院因一份当年未披露的尸检微生物检验结果撤销定罪。那个数字本身犯了两个错误：把同一家庭的两次婴儿猝死当作独立事件相乘，又把“无罪时出现这种情况的概率”误读成“无罪的概率”。
案件经过与 7300 万分之一的来历
长子 Christopher 生于 1996 年 9 月 26 日，同年 12 月 13 日晚死亡，约 11 周大；次子 Harry 生于 1997 年 11 月 29 日，1998 年 1 月 26 日晚死亡，约 8 周大。1999 年 11 月 9 日，切斯特刑事法院（Crown Court at Chester）的陪审团以 10 比 2 的多数裁定她两项谋杀罪成立；2000 年 10 月 2 日，她的第一次上诉被驳回。
庭审中，儿科医生 Roy Meadow 作为控方专家证人，引用了当时即将出版的政府资助研究 CESDI（婴儿猝死保密调查）。研究列出的风险因素包括母亲年龄、家中是否有人吸烟、家中是否无人有工资收入，这些都不适用于 Clark 家；在这类家庭中，单个婴儿发生婴儿猝死综合征（SIDS）的频率约为 1/8543。Meadow 在庭上说，“你得把 1/8543 乘以 1/8543”，结果约为 7300 万分之一，还把它比作连续四年押中赔率 80 比 1 的全国障碍赛马冷门。皇家统计学会（RSS）2002 年致大法官的信还指出，他据每年约 70 万新生儿进一步推断这种事“大约 100 年才会碰巧发生一次”，而 1/7300 万只适用于与被告家庭特征相同的那一小类家庭，不能直接乘全国出生数。
2003 年定罪被撤销的直接原因不是统计。Harry 尸检时采集的多个样本检出金黄色葡萄球菌，其中包括通常应当无菌的脑脊液；这些检验记录当年没有进入庭审，控辩双方律师都不知道它们存在。刑事案件审查委员会 2002 年 7 月将案件发回上诉法院，法院于 2003 年 1 月 28–29 日审理后认定两项定罪都不安全并予撤销，控方没有要求重审；详细理由在 4 月 11 日的书面判决中公布。判决也用了不少篇幅批评统计证据：法官认为这个数字很可能严重夸大了同一家庭两次不明原因自然死亡的罕见程度，而且“连续押中赛马冷门”的比喻可能对陪审团产生了重大影响。
同一家庭的两次猝死并不独立
两个概率直接相乘，前提是两件事独立：第一个孩子是否猝死，完全不改变第二个孩子的风险。掷两次硬币可以这样算，同一对父母的两个婴儿却共享遗传背景、住房、照护习惯，以及许多尚未被识别的因素，更像同一口井里打上来的两桶水。RSS 在 2001 年 10 月 23 日的声明中说，这种算法“一般而言在统计上无效”：只有当 SIDS 在家庭内部独立发生时才成立，而这需要经验证据；案件中没有提供任何证据，反而有很强的先验理由认为，未知的遗传或环境因素会让同一家庭更容易出现第二例。声明还强调，这个数字不能当作“大致量级”来为之辩护，因为误差很可能非常大，而且偏向同一个方向。
数据也指向家庭内的聚集。萨福德大学数学教授 Ray Hill 在 2004 年的一篇 BMJ 回应中引用 CESDI：323 个 SIDS 家庭中此前发生过 5 例 SIDS，1288 个对照家庭中只有 2 例，据此估计有过一次 SIDS 的家庭再发生的可能性约为其他家庭的 10 倍，其他英国和海外研究提示至少 5 倍。上诉判决也从另一个角度指出：如果 1/7300 万真能代表同一家庭两次猝死的机会，专门辅导经历过猝死的家庭照顾下一个孩子的 CONI 计划就等于在防范一个可以忽略的风险。
独立性之外还有两处偏差。RSS 2002 年的信指出，用来给 Clark 家归类的特征，是用估算该类别频率的同一批数据挑选出来的，这种数据的双重使用可能引入不易察觉的偏差。上诉判决则指出，陪审团必须对两项指控分别裁决，而 1/7300 万把两起死亡打包在一起；只要陪审团认定其中一起不是 SIDS，另一起是 SIDS 的机会就回到 1/8543，7300 万这个数字便完全无关。
检察官谬误与条件概率的方向
就算 7300 万分之一算对了，它回答的也只是这样一个问题：假如两个孩子都死于 SIDS（也就是母亲无罪），一个这样的家庭会碰上两次猝死的概率有多大，即 P(证据 | 无罪)。陪审团需要判断的却是反过来的 P(无罪 | 证据)：两个孩子已经死了，她无罪的可能性有多大。RSS 声明提到，当时一些媒体把这个数字报道成“两个孩子死于意外的概率”，这是一种严重的逻辑错误，称为“检察官谬误”。
换一个场景更容易看清。某人连续两期中了彩票头奖，“公平抽奖下连中两次”的概率极小，但这不等于他“没有作弊的概率”极小。要判断他是否作弊，还得问：操纵彩票并连续两次得手而不被发现，又有多罕见？两种解释都要算，只算一边就会得出荒谬的结论。
RSS 的表述是：陪审团需要权衡两种相互竞争的解释——SIDS 或谋杀。两次 SIDS 和两次谋杀都很罕见，但其中一种显然已经发生；要紧的是两种解释下出现这些死亡的相对可能性，而不是其中一种解释有多不可能。2002 年的信说得更直白：两次谋杀很可能比两次 SIDS 更罕见。RSS 还提到，上诉法院在 1993 年 Deen 案和 1996 年 Doheny/Adams 案中已就 DNA 证据认识到这种危险并制定了呈现规范，但问题不限于 DNA。第一次上诉的法官其实也接受了这一点，认为事后判断两起死亡是否自然时“1:7300 万这个数字毫无帮助，只是一种干扰”，但仍综合其他证据维持了定罪。
用贝叶斯定理比较两种解释
把 RSS 说的“相对可能性”写成公式，就是贝叶斯定理的比值形式。记 E 为“同一家庭两名婴儿突然死亡、死因不明”，两种待比较的解释是两次 SIDS 与两次谋杀：
右边第二项是先验比值：在类似家庭里，两次 SIDS 和两次谋杀各自有多常见。第一项是似然比：两种解释各自能多好地说明眼前的证据。对“两个孩子死了”这一点，两种解释都能完全说明，似然比接近 1；真正拉开差距的应当是尸检发现、病史等具体证据，比如 Harry 脑脊液中的细菌。Meadow 的 1/7300 万只是先验比值的分子，分母——两次谋杀有多罕见——从未在庭上被计算。
有人试过估算两边。Plus 杂志 2002 年转述 Hill 对 CESDI 数据的分析：一般家庭首次 SIDS 的频率约为 1/1303，已有一次 SIDS 的家庭再发生一次约在 1/60 到 1/130 之间，取 1/100 计算，两次 SIDS 约为 13 万分之一；以英格兰和威尔士每年约 65 万新生儿计，每年约有 5 个家庭遇到，而不是“一百年一次”。Hill 在 2004 年的 BMJ 回应中给出了两边直接对比的粗略估计：单次猝死与单次谋杀之比约为 17:1，两次约为 9:1，三次约为 2:1；计算过程见他同年发表于《儿科与围产期流行病学》的论文。换句话说，在还没看任何法医证据之前，“一家死了两个婴儿”本身并不指向谋杀。
AI 生成示意图。左：同一类低风险家庭（单次 SIDS 约 1/8543）按独立假设自乘约为 1/7300 万；若第二次风险提高 5 倍或 10 倍，分别约为 1/1460 万和 1/730 万。右：把 1/7300 万误读为“无罪的概率”会得到接近 0 的结果；按 Hill 粗略估计的两次猝死与两次谋杀约 9:1 比较，猝死解释约占 90%，尚未计入任何法医证据。图中柱高与刻度不精确，以标注数值为准。数据：1/8543 与 1/7300 万见上诉法院 2003 年判决；5–10 倍复发与 9:1 来自 Hill 2004 年的 BMJ 回应，均为粗略估计。
这些数字只应当当作量级来看。Hill 自己强调，用有限数据做这类估算“充满困难”，并声明曾为两起类似案件的辩方撰写报告；上图左侧的 5 倍和 10 倍是本文把他引用的复发倍数套用到 1/8543 上的示意计算，没有考虑尚未识别的风险因素。Clark 案最终也不是靠贝叶斯计算翻案，而是靠新发现的微生物证据。贝叶斯框架的作用在于让两种解释站到同一把尺子上：先问两件事是否真的独立，再分清条件概率的方向，最后把两边放在一起比较，而不是只报一边。RSS 在 2001 年声明的结尾也据此建议，法庭上的统计证据应当由具备相应资质的统计专家提供。