“学生”与 t 分布：戈塞特在吉尼斯酒厂的小样本问题

1908 年 3 月，《生物统计》（Biometrika）刊出署名“学生”（Student）的论文《均值的可能误差》。作者是都柏林吉尼斯酒厂的化学师威廉·西利·戈塞特。他要解决的是实验中常见的困境：只做了几次测量，连样本标准差本身都不可靠，判断均值时误差界该放宽多少？论文给出的答案，就是后来的 t 分布。

威廉·西利·戈塞特，摄于 1908 年，即《均值的可能误差》发表当年。照片扫描自《优生学年鉴》（Annals of Eugenics）所载讣告，摄影者不详。来源：Wikimedia Commons，许可：公有领域。

吉尼斯酒厂的小样本难题

戈塞特 1876 年生于坎特伯雷，在牛津新学院修读化学和数学，1899 年进入都柏林的亚瑟·吉尼斯父子公司担任化学师。1904 年，他为酒厂写了内部报告《“误差律”在酒厂工作中的应用》，1905 年又带着几个具体问题去见卡尔·皮尔逊。其中一个问题后来成了 1908 年论文的主题：如果分析次数无穷多，他可以说“真值落在分析结果 2.6 以内的赔率是 10 比 1”；可次数有限、有时还不多时，“显然必须放宽界限，但我不知道该放宽多少”。1906–1907 学年，他在皮尔逊位于伦敦的生物统计实验室进修，随后发表了这篇论文。雇主要求向竞争对手隐去作者身份，所以论文署名只有“Student”。

论文开篇就点明了这类问题有多普遍：有些化学实验、许多生物实验以及大多数农业和大规模实验，很难反复做很多次，只能凭一个很小的样本来判断结果的可靠性，而这个样本本身就是变异程度的唯一线索。戈塞特写道，这类实验“迄今几乎在统计研究的范围之外”；人们都知道正态曲线只在样本“大”时才可信，却“没有人清楚地告诉我们”大样本和小样本的界线在哪里。

小样本下的误差界

当时的常规做法，是把样本标准差 s 当作总体标准差 σ，用 s/√n 去查正态分布表。戈塞特指出，样本越小，s 本身的误差就越大，照这样得出的判断“可能完全误导”。打个比方：这就像用一把刻度会随机伸缩的尺子去衡量误差，尺子碰巧缩短的时候，同样大小的偏差就显得格外大。把样本均值的偏差除以一个本身也在波动的 s，得到的比值会比正态分布更分散，两侧尾部更厚。

要放宽多少，取决于样本量。以双侧 95% 为例，正态分布的临界值是 1.96；按今天的 t 分布，样本量 n=4（自由度 3）时临界值是 3.18，区间要宽约 62%；n=10 时是 2.26，宽约 15%；n=30 时是 2.05，只宽约 4%。这正回答了论文提出的问题：大样本与小样本之间没有一刀切的界线，校正幅度随样本量连续变小。

自由度 ν=1、2、5 的 t 分布与标准正态分布（ν=+∞，黑线）的密度曲线：自由度越小，峰越低，两侧尾部越厚。作者：Skbkekas（IkamusumeFan 修订），来源：Wikimedia Commons，许可：CC BY 3.0。

从 z 到 t 的数学要点

戈塞特假定总体服从正态分布，分三步推导。第一步，他算出样本方差 $s^2$ 的前四阶矩（当时按除以 $n$ 定义），发现它们符合皮尔逊 III 型曲线，由此写出 $s^2$ 的分布，也就是今天熟知的卡方分布的缩放形式；他坦言自己“没有实际证明”，只是假定它成立。第二步，他论证正态总体中样本均值与样本标准差互不相关。第三步，他据此求出

$$z=\frac{\bar{x}-\mu}{s}$$

的分布，其密度与 $(1+z^2)^{-n/2}$ 成正比，并为小样本编制了概率表。

为了检验推导，他还做了一次手工随机抽样：把 3000 名罪犯的身高和左手中指长度写在 3000 张卡片上，充分洗牌后逐张抄录，每 4 张为一组，共得到 750 个样本，再把 750 个 $z$ 值与理论曲线比较，结果吻合良好。MacTutor 的传记称之为蒙特卡洛方法的早期应用。

据 E. S. 皮尔逊回忆，$z$ 检验在酒厂里立即投入使用，但在别处大约十几年都少有人用；1922 年戈塞特把新编的表寄给费希尔时还打趣说，“你大概是唯一会用它们的人”。今天通用的形式来自费希尔：1925 年他在意大利期刊《Metron》发表《“学生”分布的应用》，用多维空间体积的方法证明了样本均值与方差相互独立、分布形式准确，并把统计量改写为

$$t=z\sqrt{n-1}=\frac{\bar{x}-\mu}{s'/\sqrt{n}},$$

其中 $s'$ 是以 $n-1$ 为除数的样本标准差，自由度 $\nu=n-1$。t 分布的密度为

$$f(t)\propto\left(1+\frac{t^2}{\nu}\right)^{-(\nu+1)/2},$$

当 $\nu\to\infty$ 时收敛为标准正态分布。费希尔还把 t 推广到两样本比较和回归系数检验。除数之争也有一段插曲：戈塞特本人更倾向小样本时用 $n-1$，皮尔逊却在 1912 年对他说两者差别无关紧要，“因为只有淘气的酿酒师才会把 $n$ 取得那么小”。

实例、前提与现实意义

论文用 Cushny 与 Peebles 1904 年发表的催眠药数据作示范：10 名病人分别服用氢溴酸莨菪碱的右旋体和左旋体，记录比不服药时多睡的小时数。戈塞特把同一病人的两次结果相减，差值均值为 1.58 小时，标准差 1.17（按除以 n 计算），即 z≈1.35，查表得出左旋体催眠效果更好的赔率约为 666 比 1。他还指出，差值的标准差之所以小，是因为同一病人对两种药的反应相关，这正是配对设计的好处。按今天的配对 t 检验，同一组数据 t≈4.06，自由度 9，双侧 p≈0.003。论文还用沃本农场的大麦试验判断种子烘干是否值得：烘干种子平均产量更高的赔率约为 14 比 1，而烘干后大麦品质变差的赔率则“非常大”。

如今，回归结果里每个系数旁边的 t 值、样本均值的置信区间，追根溯源都来自这篇论文。但它有前提。戈塞特明确说，结论严格来讲不适用于已知非正态的总体，不过他判断偏离正态要相当极端才会造成严重错误；他检验用的身高和指长数据本身就略偏离正态，对 z 的分布影响很小。经济学家 Ziliak 还提醒，戈塞特从商业经营的角度看待不确定性，认为单独一个“统计显著”的结论本身“几乎毫无价值”。换句话说，t 分布回答的是小样本下误差界该放宽多少，并不回答结果是否重要、值不值得据此行动。