高尔顿在《自然遗传》（1889）第 63 页绘制的装置示意图：铅弹经漏斗落下，穿过错位排列的钉子，堆积在底部隔槽中。图：Francis Galton，经 Wikimedia Commons，公有领域。
把一把小球从顶端倒进钉板，每颗球每撞一次钉子就随机偏左或偏右，落到底部却总是堆成中间高、两边低的钟形。弗朗西斯·高尔顿 1873 年请人造出这台装置，1889 年在《自然遗传》中把原因归结为“许多微小而独立的意外”。本文从直觉、二项分布与中心极限定理讲起，再说明这条规律的用处与边界。
高尔顿的钉板与路径计数
高尔顿在 1889 年出版的《自然遗传》（Natural Inheritance）第五章里，把这台装置称作“频率曲线成因的机械演示”。按他的描述，它是一个前面镶玻璃的木框，玻璃与背板之间只留约四分之一英寸的空隙；上部用木条围成漏斗，漏斗下方是一排排钉进背板的钉子，最下面是一列竖直隔槽，框里装着一把小铅弹。把框倒过来让铅弹全部滚到一端，再翻回原位，铅弹便穿过漏斗，在钉子之间曲折地奔跑，每撞到一颗钉子就向左或向右偏一步。钉子按梅花形（quincunx）错位排列，保证下落的铅弹在每一排都会撞上一颗钉子。据统计史学者斯蒂格勒（Stephen Stigler）考证，第一台这样的装置在 1873 年造出，quincunx 这个名字借自农业中的错行排列。
钟形的来历，用数路径的办法就能看清。设想一块有 12 排钉子的理想钉板，小球在每一排向左、向右的机会各占一半，一共有 2¹² = 4096 条等可能的路线。要落进最左边的隔槽，必须连续 12 次都向左，只有 1 条路线；要落进正中间，只需左右各 6 次，先后顺序随意，这样的路线有 924 条。于是倒下 4096 颗球，平均约有 924 颗挤在中间一格，两端各只有 1 颗左右。中间格子拥挤，并不是钉板“偏爱”中间，而是通往中间的路线多得多。高尔顿的说法是：每颗铅弹一路上会遇到许多微小而独立的意外，偶尔有一颗连续走运，一路偏向某一侧，但绝大多数情况下，向右和向左的偏转会不同程度地相互抵消。
圣保罗大学数学与统计研究所 Matemateca 收藏的现代高尔顿板，底部隔槽中的小球堆成中间高、两边低的轮廓。图：Matemateca (IME/USP)/Rodrigo Tetsuo Argenton，经 Wikimedia Commons，CC BY-SA 4.0。
从二项分布到中心极限定理
把上面的例子写成一般形式：钉板有 n 排，小球在每一排向右的概率为 1/2，且各排互不影响，那么它向右的总次数 K 服从二项分布，落进第 k 格的概率是 P(K = k) = C(n, k) / 2ⁿ，其中 C(n, k) 正是帕斯卡三角形第 n 行的第 k 个数。K 的均值是 n/2，方差是 n/4，标准差是 √n/2。排数越多，小球可能落到的位置越分散，所以比较不同排数的钉板时，要先把位置换算成“离中心几个标准差”，即 Z = (K − n/2) / (√n/2)。换算之后，随着 n 增大，Z 的分布越来越接近标准正态曲线。
这一结论最早由棣莫弗（Abraham de Moivre）给出。1733 年 11 月 12 日，他把一篇 7 页的拉丁文短文私下分发给朋友，讨论如何近似计算二项展开式中大量项的和；英文版经他补充后收入 1738 年第二版《机会论》（The Doctrine of Chances）第 235–243 页。文中举例：做 3600 次成败机会均等的试验，成功次数落在 1770 到 1830 之间（即中心两侧各 ½√n = 30 次）的概率为 0.682688。按今天的说法，这就是“落在均值上下一个标准差以内的概率约为 68.3%”。
高尔顿的描述里还藏着一个容易混淆的区别：钉板上有两个“数量”，作用并不相同。他写道，放进更多铅弹，堆出的曲线会更高耸，但仍有一半铅弹落在离中线同样的距离以内；这个距离就是他所说的“概差”（probable error），不随铅弹数量改变。另一方面，他指出，如果钉子排数多得多、铅弹更小、隔槽更窄、铅弹总量也更多，堆积轮廓会更接近正态频率曲线。打个比方，铅弹的颗数好比照片的像素，像素越多，轮廓越清楚，但拍的还是同一个形状；钉子的排数才决定每颗铅弹叠加了多少次随机推动，也就决定了这个形状本身离正态曲线有多近。
钉板只是最简单的情形：每一步只有“左一格”或“右一格”两种结果。中心极限定理把它推广到一般情形：许多相互独立的随机量相加，只要每一项的方差有限，且没有哪一项大到主宰总和，标准化之后的和就近似服从正态分布，而不论单个随机量本身是什么形状。每一步可以是掷骰子的点数，也可以来自偏斜、不对称的分布，相加的项足够多，和的分布照样趋向钟形。按费希尔（Hans Fischer）的中心极限定理史研究，拉普拉斯在 1810 年已用正态近似处理相当一般的独立随机量之和；李雅普诺夫在 1900 和 1901 年的论文中，在只要求一定矩条件的前提下给出严格证明，并给出了近似误差的上界；“中心极限定理”这个名称来自波利亚 1920 年的论文标题，意指它在概率论中的核心地位。
钟形规律的用处与边界
高尔顿用这台装置解释“为什么平庸如此常见”：身高这类性状受许多微小因素共同影响，各种影响大多相互抵消，于是多数人落在中间，极端值很少。同样的推理也解释了测量误差为何常呈钟形：一次读数的误差往往是仪器、环境和操作者许多细小偏差的叠加。对今天的数据分析而言，最常用的推论落在样本均值上：均值就是许多独立观测之和再除以样本量，因此即使单个数据明显偏斜，大样本均值的分布也近似正态，常用的正态近似置信区间和 z 检验都建立在这一点上。也要看到，高尔顿同时是优生学的倡导者；伦敦大学学院（UCL）在介绍其收藏的这台装置时提到，正因这层关联，他的名字很少与这项贡献一同被提起。
钟形并非无条件出现，中心极限定理的前提在现实中经常被打破，常见的有四种情形。第一，各次推动相互关联，或有单个因素占主导：如果一个性状主要由某个大效应因素决定，其余小因素只在其上叠加波动，分布可能呈现两个峰，而不是一个钟形。第二，单项波动太大、方差不存在，例如柯西分布，任意多个独立柯西变量的平均值仍是同样的柯西分布，加多少项也不会变成钟形。第三，影响是相乘而不是相加，比如按比例增长的收入或细胞大小，取对数后才是许多项之和，因此常见的是右偏的对数正态分布。第四，尾部收敛最慢。仍以 12 排理想钉板为例，按二项分布精确计算，正中一格的概率是 924/4096 ≈ 22.6%，用正态曲线（加连续性校正）近似约为 22.7%，几乎一致；最边上一格的精确概率是 1/4096 ≈ 0.024%，正态近似却约为 0.066%，高估到约 2.7 倍。
实物钉板本身也只是近似：小球可能弹跳越过钉子，彼此还会碰撞，高尔顿本人也只说堆积轮廓“近似于”频率曲线。因此，看到一组数据呈钟形，或打算使用正态近似时，可以先问三个问题：它是不是许多独立小因素相加的结果？有没有某个因素压倒其他因素？关心的是分布的中间，还是极端的尾部？