分位数回归由 Koenker 与 Bassett 于 1978 年提出。它分别估计因变量的中位数、第 10 或第 90 百分位等条件分位数如何随自变量变化，而不只估计条件均值。当自变量对分布两端的作用不同，或误差的离散程度随自变量改变时，它能补上普通最小二乘（OLS）看不到的信息。本文介绍其损失函数、系数解读、推断方法与常见误用，并附 Python 算例。
分位数回归的提出者之一 Roger W. Koenker，摄于 2012 年。图：Ivonne Vetter / 奥伯沃尔法赫数学研究所（MFO），来自 Wikimedia Commons，CC BY-SA 2.0 de 许可。
只看条件均值的局限
普通最小二乘（OLS）回归估计的是条件均值：给定自变量取值时，因变量平均是多少。均值只是分布的一个概括。如果自变量不仅移动分布的位置，还改变它的离散程度或偏斜方向，一条均值线就会把这些变化压平。
Koenker 与 Hallock（2001）在《Journal of Economic Perspectives》的综述中，用 1857 年比利时 235 户工人家庭的 Engel 数据说明了这一点：食品支出随收入上升，但收入越高，家庭之间的食品支出差距也越大。statsmodels 官方示例复现这项分析时指出，最小二乘直线对低收入家庭拟合较差，从多数低收入家庭的数据点上方穿过。分位数回归的做法是分别估计中位数、第 10 百分位、第 90 百分位等条件分位数随收入变化的直线，用一组模型描述整个条件分布。
有些问题本来就关心分布的尾部。研究婴儿出生体重时，健康风险集中在低体重一端，需要知道下尾如何随母亲特征变化；研究高管薪酬或收入差距时，关心的常常是上尾。Koenker 与 Hallock 的综述正是以 CEO 薪酬、食品支出和婴儿出生体重为例。另外，中位数回归对因变量方向上的极端值不像均值回归那样敏感，但它对自变量方向上的高杠杆点并不稳健。
检验函数与系数含义
对随机变量 ，第 分位数（）是使累积分布函数 的最小 ，记作 ； 就是中位数。线性分位数回归假定条件分位数是自变量的线性函数：
系数通过最小化检验函数（check function）之和来估计：
残差为正（观测点在拟合线上方）时，每单位残差计 ；残差为负时计 。 时两侧权重相等，目标函数等于绝对残差之和的一半，得到中位数回归，也就是最小绝对偏差（LAD）回归。
可以把检验函数想成一套不对称的罚款。取 τ = 0.9：拟合线每把一个观测低估 1 个单位罚 0.9，高估 1 个单位只罚 0.1。为了少交罚款，拟合线会被往上推，直到大约 90% 的观测落在线下、10% 落在线上，这正是第 90 百分位的含义。Koenker 与 Bassett（1978）把样本分位数的这种最小化定义推广到线性模型，称其解为“回归分位数”（regression quantiles）。这个问题没有 OLS 那样的闭式解，通常用线性规划求解。
分位数回归所用的 pinball 损失，即正文中的检验函数：零点两侧斜率不同，τ 越大，正残差每单位的代价越高。图：Alexander Elvers，来自 Wikimedia Commons，CC BY-SA 4.0 许可。
系数 的含义是：其他自变量不变时， 增加一个单位， 的条件第 分位数变化多少。读一组分位数回归，重点看斜率怎样随 变化：
- 各个 的斜率几乎相同：自变量只是把整个条件分布平移，分位数回归线大致平行，OLS 斜率已能概括主要信息。
- 高分位数的斜率明显大于低分位数：自变量增大时条件分布被拉宽，即存在异方差。
- 两端斜率偏离中位数的幅度不对称：分布的偏斜方向也随自变量改变。
分位数还有一个均值没有的性质：对单调递增变换保持等变。若 单调递增，则 。因此对 做中位数回归后取指数，得到的就是 的条件中位数；而对 的条件均值取指数，一般并不等于 的条件均值。
Engel 数据算例与 OLS 对比
下面用 Python 的 statsmodels 复现 Koenker 与 Hallock（2001）的 Engel 数据分析。这份数据随 statsmodels 和 R 包 quantreg 一起分发，含 235 户家庭的年收入（income）与年食品支出（foodexp），单位为比利时法郎。代码对 τ = 0.05, 0.15, …, 0.95 共 10 个分位数分别拟合，另拟合中位数回归和 OLS 作对比，并把各条回归线画在同一张散点图上。
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
import statsmodels.api as sm
import statsmodels.formula.api as smf
data = sm.datasets.engel.load_pandas().data # 235 households: income, foodexp
mod = smf.quantreg("foodexp ~ income", data)
taus = np.round(np.arange(0.05, 0.96, 0.10), 2)
fits = {tau: mod.fit(q=tau) for tau in taus}
median = mod.fit(q=0.5)
ols = smf.ols("foodexp ~ income", data).fit()
print(median.summary())
for tau, res in fits.items():
lo, hi = res.conf_int().loc["income"]
print(f"tau={tau:.2f} slope={res.params['income']:.3f} 95% CI=[{lo:.3f}, {hi:.3f}]")
lo, hi = ols.conf_int().loc["income"]
print(f"OLS slope={ols.params['income']:.3f} 95% CI=[{lo:.3f}, {hi:.3f}]")
x = np.linspace(data.income.min(), data.income.max(), 200)
fig, ax = plt.subplots(figsize=(8, 6))
ax.scatter(data.income, data.foodexp, s=14, alpha=0.3, label="Households")
for tau, res in fits.items():
ax.plot(x, res.params["Intercept"] + res.params["income"] * x,
color="grey", linestyle="dotted", linewidth=1)
ax.plot([], [], color="grey", linestyle="dotted", label="tau = 0.05, 0.15, ..., 0.95")
ax.plot(x, median.params["Intercept"] + median.params["income"] * x,
color="black", linewidth=2, label="Median (tau = 0.5)")
ax.plot(x, ols.params["Intercept"] + ols.params["income"] * x,
color="red", linewidth=2, label="OLS (conditional mean)")
ax.set_xlim(240, 3000)
ax.set_ylim(240, 2000)
ax.set_xlabel("Household income (Belgian francs)")
ax.set_ylabel("Food expenditure (Belgian francs)")
ax.legend()
fig.savefig("engel_quantile_lines.png", dpi=200, bbox_inches="tight")
用 R 的 quantreg 可以得到同类结果。quantreg 默认用单纯形法（br）求解，statsmodels 用迭代加权最小二乘，个别分位数的点估计可能有细微差别：
library(quantreg)
data(engel)
fit <- rq(foodexp ~ income, tau = seq(0.05, 0.95, by = 0.1), data = engel)
set.seed(2026)
summary(fit, se = "boot", bsmethod = "xy", R = 1000)
plot(summary(fit))
下表摘自 statsmodels 0.15.0 官方示例页面的输出（不是本文另行运行的结果；不同版本或求解算法可能在末位略有差别）。置信区间来自 statsmodels 默认的核估计标准误。
| 模型 | 收入斜率 | 95% 置信区间 |
|---|---|---|
| τ = 0.05 | 0.343 | 0.269–0.418 |
| τ = 0.25 | 0.474 | 0.440–0.508 |
| τ = 0.50（中位数） | 0.560 | 0.534–0.586 |
| τ = 0.75 | 0.644 | 0.622–0.666 |
| τ = 0.95 | 0.709 | 0.688–0.730 |
| OLS（均值） | 0.485 | 0.457–0.513 |
这些斜率的读法是：在收入相同的家庭中，食品支出的条件第 95 百分位随收入每多 1 法郎上升约 0.71 法郎，条件第 5 百分位只上升约 0.34 法郎。斜率随 τ 增大，说明收入越高，家庭之间食品支出的差距越大，这与散点图中向右张开的扇形一致。OLS 的 0.485 落在中间，单独报告它会掩盖这种差异；statsmodels 示例也指出，多数分位数的点估计落在 OLS 的置信区间之外。中位数回归的截距约为 81.5，对应收入为 0 的家庭，远在数据范围之外，不宜单独解读。
Engel 数据（235 户比利时工人家庭）上的分位数回归：灰色虚线为 τ = 0.05, 0.15, …, 0.95 的拟合线，红线为 OLS。此图取自 statsmodels 官方示例，未单独画中位数线；运行正文代码会另外画出黑色中位数线。图：statsmodels developers，来自 statsmodels 文档，BSD-3-Clause 许可。
标准误、推断与常见误用
分位数回归系数的渐近方差取决于因变量在该分位数处的条件密度，而这个密度本身需要估计，所以标准误没有 OLS 那样简单的公式。R 包 quantreg 的 summary.rq 提供多种方法：iid 假定误差独立同分布，沿用 Koenker 与 Bassett（1978）的渐近协方差；nid 允许误差分布随自变量变化，用局部密度估计构造 Huber 三明治协方差；ker 使用 Powell（1991）的核估计；rank 通过反转秩检验构造置信区间（Koenker 1994），区间可以不对称；boot 提供多种自助法。不指定方法时，样本量小于 1001 默认用 rank，否则用 nid。statsmodels 的 QuantReg 则按 Greene（2008）的做法，用核估计计算渐近协方差。
自助法在分位数回归中很常用，因为它绕开了密度估计。quantreg 的 boot.rq 支持 xy 配对重抽样（按整行有放回抽样）、Parzen–Wei–Ying 法、马尔可夫链边际自助法（mcmb）、指数权重的广义自助法（wxy）和野自助法（wild）；提供 cluster 参数时改用 Hagemann（2017）的聚类稳健自助法。实务上，怀疑存在异方差时不要用 iid；数据有学校、医院等聚类结构时，应在聚类层面重抽样。如果要检验“高分位与低分位的斜率是否相同”，需要对多个 τ 做联合推断，不能只看两条置信区间是否重叠。summary.rqs 对多个 τ 使用同一批重抽样，其返回的自助法估计矩阵可用来构造跨分位数的联合协方差。
常见误用之一，是把条件分位数的变化当成个体效应。在 Engel 例子里，τ = 0.95 的斜率约 0.71，说的是“第 95 百分位这个位置”随收入怎样移动，而不是“原本处在第 95 百分位的那户家庭”会怎样变化。打个比方：一个补习项目让全班成绩的第 90 百分位提高了 10 分，可能是原来的尖子生都进步了，也可能是中等生大幅进步、挤进前列，而原来的尖子生原地不动。两种情形下分位数的变化完全一样，个人层面的效应却截然不同。要把分位数差异解释为个体效应，需要额外假设每个人在分布中的排序不因处理而改变（秩不变性），而这在横截面数据中通常无法检验。还要注意，条件分位数不等于总体的无条件分位数：放入的控制变量不同，“第 90 百分位”所比较的人群也不同。
常见误用之二，是忽视分位数交叉。各个 τ 的回归线分别估计，在有限样本中可能在某些自变量取值处相交，例如预测的第 90 百分位低于第 80 百分位，这在逻辑上不可能。交叉多出现在数据稀少的自变量边缘，也可能提示线性设定不当。quantreg 文档提示，相邻分位数面交叉会让 nid 方法的密度估计出现负值，此时宜改用自助法，或考虑加入二次项等非线性项。处理办法包括：只在数据充分覆盖的区间内解读和预测；改进模型设定；或采用 Chernozhukov、Fernández-Val 与 Galichon（2010）提出的单调重排（rearrangement），把每个自变量取值处估计出的分位数按大小重新排序。他们证明，重排后的曲线在有限样本中比原曲线更接近真实的分位数曲线。
第三个容易出错的地方是极端分位数。样本只有几百个时，τ = 0.99 以上的拟合线只由极少数观测决定，常规标准误并不可靠。quantreg 的 summary.rq 为此提供 extreme 选项，采用 Chernozhukov、Fernández-Val 与 Kaji（2018）针对极端分位数的子抽样推断；更稳妥的做法是先确认尾部有足够观测，再决定报告到哪个分位数。