回归均值：高尔顿身高数据与“名人堂魔咒”式错觉
高尔顿《自然遗传》（Natural Inheritance，1889）扉页，书中系统整理了他的身高回归研究。图：Wellcome Collection，来源：Wikimedia Commons，许可：CC BY 4.0。
1886 年，弗朗西斯·高尔顿用 205 对父母和 928 名成年子女的身高数据指出：子女身高偏离平均的幅度，平均只有父母中值偏离幅度的三分之二。他称之为“向平庸回归”。这并非遗传把下一代拉回平均，而是两次测量相关不完美时必然出现的统计现象；“登上封面就失灵”“被表扬就退步”一类错觉，大多也源于此。
高尔顿的身高表与“三分之二”
高尔顿最早是在种子上注意到这一现象的。他在 1886 年的论文开头回顾：自己曾把同一品种、大小不同的种子分送各地友人种植，并在 1877 年 2 月 9 日的英国皇家研究院讲座上报告，后代并不复制亲代的大小，而是“更平庸”——大种子的后代偏小，小种子的后代偏大，平均回归量与亲代偏离平均的幅度成正比。由于确切比例受多种因素干扰，他当时没有给出数值，转而寻找人类数据。
人类数据来自他悬赏征集的“家庭记录”。论文正文称资料包含 930 名成年子女及其 205 对父母，而表一的合计是 928 人。为了消除男女身高差，他把所有女性身高乘以 1.08，换算成“男性等值”，再取父母二人的平均作为“中亲身高”（mid-parentage）。这批人群的平均身高约为 68¼ 英寸（不穿鞋）。他把结论压缩成一句话：子女身高的偏差，平均是中亲偏差的三分之二。他也坦言数据粗糙，不少记录分不清是否穿鞋测量，因此只把这些数值视为“够用的近似”。
Bland 与 Altman 1994 年在《英国医学杂志》（BMJ）的统计札记中用这张表举了一个直观的例子：中亲身高在 70–71 英寸之间的家庭，子女平均 69.5 英寸，比父母更靠近总体平均 68.2 英寸；反过来，身高在 70–71 英寸之间的子女，其父母平均只有 69.0 英寸。高尔顿本人也读出了这种“反向回归”：按列读表，一个人最可能的中亲偏差只有他自己偏差的约三分之一。两个方向都向平均靠拢，说明这是统计现象，而不是遗传把后代推回平庸。
依据高尔顿《自然遗传》第 96 页原图重绘，圆圈大小按书中表 11 的人数添加。图：Madeleine Price Ball（Madprime），来源：Wikimedia Commons，许可：CC0 1.0。
这批手稿数据今天仍可核查。麦吉尔大学的 James Hanley 根据伦敦大学学院馆藏的高尔顿笔记本重新转录了 205 个家庭的身高记录，2004 年在《美国统计学家》（The American Statistician）发表分析，比较了高尔顿“乘以 1.08”的换算与今天多元回归方法的差别，并公开了笔记本照片和数据文件。公开版数据有意留空 8 个家庭，鼓励使用者对照手稿自行补全。
相关系数小于 1 的必然结果
把两个变量都换成标准分（减去平均值，再除以标准差），最小二乘回归线的斜率就是相关系数 r。Bland 与 Altman 的表述是：X 每变化一个标准差，Y 的预测值只变化 r 个标准差。写成一句话就是“预测值的标准分 = r × 已知值的标准分”。只要两者不是完全线性相关（r = 1），预测值离均值的标准差个数就总比已知值少——这就是回归均值，在实际数据中几乎总会出现。
为什么 r 小于 1 就会回归？可以把每次测量看成“稳定的真实水平 + 这一次的随机波动”。按第一次测量挑出最高的一批人，挑中的多半既真实水平偏高、这一次运气也偏好；第二次测量时，真实水平还在，运气却不会专门再偏向他们，于是这批人的平均值向总体回落。Barnett、van der Pols 与 Dobson 在《国际流行病学杂志》的教程里给出了正态情形下的期望回归量：σt(1 − ρ)·φ(z)/Φ(z)，其中 σt 是总体总标准差，ρ 是两次测量的相关系数，z 衡量入选门槛有多极端。由此可以读出三条规律：随机波动越大（ρ 越小）、门槛越极端、总体越分散，回归就越明显。在他们的一个假设例子中，以高密度脂蛋白胆固醇低于 40 mg/dl 为门槛筛选受试者，取 ρ ≈ 0.64，即使什么都不做，这组人复测时的均值也预期上升约 9.6 mg/dl。
高尔顿的“三分之二”和“三分之一”为什么不对称？原因在于中亲身高是两个人的平均，离散程度比个体小。高尔顿专门检验过婚配与身高是否有关：把父母各分为高、中、矮三组，身高反差大的夫妇有 32 对，相近的有 27 对，他据此把婚配视为与身高无关。在这种情况下，中亲身高的标准差约为个体的 1/√2。回归斜率等于 r 乘以两个标准差之比，用中亲预测子女、用子女反推中亲，乘的正好是互为倒数的比值，所以一个斜率约为 2/3、另一个约为 1/3；两者的乘积等于 r²，按这两个约数推算，r 约为 0.47。
回归均值也不意味着个体差异会逐代消失。高尔顿在论文中自问：既然高个子父母的孩子平均会矮一些，为何每一代人的身高分布几乎不变？他的回答是两种过程相互平衡：一边是各家子女的平均值向总体平均“集中”，另一边是同一中亲的子女之间又各自“分散”。用今天的话说，回归描述的是条件均值，而不是某个人的命运；总体的离散程度完全可以保持稳定。
从飞行教官到封面魔咒
心理学家丹尼尔·卡尼曼在诺贝尔奖自传中回忆过一次“顿悟”：他向飞行教官讲授“表扬比惩罚更能促进技能学习”，一位资深教官当场反驳——每次表扬学员动作做得漂亮，下一次往往变差；每次对做得糟糕的学员大吼，下一次往往变好。卡尼曼意识到，人们习惯在别人表现好时奖励、表现差时惩罚，再加上回归均值，“在统计上，我们因奖励他人而受罚，因惩罚他人而得到回报”。他随即让在场的人背对目标各抛两枚硬币，不给任何反馈：第一次抛得最好的人，第二次大多变差，反之亦然。
体育圈流传的“封面魔咒”是同一结构。据《卫报》2002 年 1 月的报道，《体育画报》（Sports Illustrated）在 2002 年 1 月 21 日一期由资深撰稿人 Alexander Wolff 带队，回顾了自 1954 年 8 月创刊以来的 2,456 期封面，发现有 913 例封面人物或球队随后遭遇了杂志所说的“可核实的不幸”，“魔咒率”为 37.2%；其中球队随即表现不佳占 52.7%，个人失利或发挥差占 25.2%，伤病或死亡占 11.8%。报道还称，Wolff 认为调查结果动摇了杂志长期以来用回归均值解释魔咒的看法，也有运动心理学家认为封面带来的关注和压力可能真的影响表现。
但 37.2% 这个数字本身证明不了魔咒：报道中没有对照组——同一时期成绩相当、却没上封面的运动员，遭遇伤病或输球的比例是多少？更关键的是入选方式：能登上封面，往往正处在一段异常出色的表现之后，其中一部分来自状态和运气，即使封面毫无作用，随后的回落也会发生。无论叫“封面魔咒”还是“名人堂魔咒”，这类说法都遵循同一套路：因极端表现被选出，随后回落，再把回落归因于“被选出”本身。要判断压力效应是否真实存在，需要拿可比的、未被选中的人作对照，而不是只数被选中者的不幸。
在医学和政策评估里，这种错觉的代价更高。按一次测量结果筛出血压或胆固醇异常的人，再施加干预，即使干预无效，复测也很可能“改善”。Barnett 等人建议：设计阶段把受试者随机分到干预组和对照组，用对照组的变化估计回归量（连同可能的安慰剂效应）；用两次或更多基线测量的平均值来筛选；分析阶段用协方差分析（ANCOVA），以中心化的基线值为协变量估计组间差异。他们的原则是：除非数据显示并非如此，否则就应假定回归均值已经发生。看到“极端之后的好转或退步”时，先问两个问题：这些对象是怎么被挑出来的？有没有同样被挑出、却没有接受处理的对照？